1、界面穩(wěn)定性問題分析

在VOF方法中，界面穩(wěn)定性是多相流模擬的核心問題之一。界面捕捉的穩(wěn)定性直接影響模擬結(jié)果的物理準確性，尤其在處理復(fù)雜界面形變、表面張力驅(qū)動流動以及高密度比流體時，數(shù)值誤差可能導(dǎo)致非物理現(xiàn)象。以下是界面穩(wěn)定性中兩個主要問題的分析：數(shù)值擴散和表面張力偽速度。

1.1數(shù)值擴散

成因：

• 數(shù)值擴散是由于VOF方法中體積分數(shù)的對流項離散化誤差引起的，尤其在使用低階格式（如一階迎風(fēng)格式）時更為顯著。
• 在界面捕捉過程中，界面形狀會隨著流動逐漸擴散，導(dǎo)致界面模糊，失去物理意義。
• 當網(wǎng)格分辨率不足時，界面重構(gòu)（如PLIC方法）也可能引入額外的擴散誤差。

影響：

• 界面厚度增加：數(shù)值擴散會導(dǎo)致界面從一個清晰的薄層變成模糊的過渡區(qū)域。
• 物理現(xiàn)象失真：例如在液滴動力學(xué)中，數(shù)值擴散可能導(dǎo)致液滴體積損失或形狀畸變。
• 多相流模擬精度下降：尤其在小尺度問題（如微流體）中，數(shù)值擴散會顯著影響界面動力學(xué)行為。

1.2表面張力“偽速度”（spurious currents）

成因：

• 表面張力的計算通常采用CSF（Continuum Surface Force）模型[1]，該模型將表面張力分布到界面附近的網(wǎng)格中。如圖 1所示，界面的離散近似充當物理平滑界面上的擾動，在其附近產(chǎn)生虛假的毛細管流。其毛細管流的量級與網(wǎng)格尺度有關(guān)，見式。

圖1 二維液滴的體積分數(shù)分布，黑色曲線為真實界面

從式中可以發(fā)現(xiàn)減小網(wǎng)格大小并不會減小這種誤差，反而會加劇。減小這種誤差涉及到精確的界面處曲率計算，對表面張力的顯式處理等方法。已有的數(shù)值方法對這種時間步要求有對應(yīng)的判據(jù)，在時間尺度上需要滿足一定的要求，如下兩式。

• 在離散化過程中，表面張力與壓力梯度之間可能出現(xiàn)不平衡，導(dǎo)致非物理的偽速度。
• 網(wǎng)格分辨率不足或界面幾何形狀復(fù)雜時，偽速度問題尤為嚴重。

影響：

• 界面形狀失真：偽速度會導(dǎo)致界面發(fā)生非物理的運動或振蕩。
• 流體動力學(xué)行為異常：例如在高表面張力問題中，偽速度可能完全改變流體的流動模式。
• 模擬結(jié)果不穩(wěn)定：偽速度的累積可能導(dǎo)致模擬發(fā)散，尤其在長時間模擬中。

2、典型案例分析

為了更直觀地分析VOF界面捕捉的穩(wěn)定性問題，以下通過兩個經(jīng)典案例進行探討：靜止狀態(tài)由界面毛細力產(chǎn)生的波動（Standing Capillary Wave）和液滴周期形變（Periodic Deformation of a Droplet）。

2.1Standing Capillary Wave

背景：

• 靜止狀態(tài)由界面毛細力產(chǎn)生的波動是一個經(jīng)典的表面張力驅(qū)動問題，用于測試界面捕捉算法在表面張力計算中的穩(wěn)定性。
• 在理想情況下，Standing Capillary Wave的振幅會隨著時間逐漸衰減，最終達到平衡狀態(tài)。

測試設(shè)置：

• 初始界面為一個正弦波形，波長為(為(λ)，振幅為(a=λ/20)。設(shè)置模型見圖 2。該案例的動能波動頻率具有解析解，見下式。

由于粘性效應(yīng)產(chǎn)生的動能衰減由下式?jīng)Q定[2]。

圖2案例示意圖

• 表面張力是唯一的驅(qū)動力，流體的粘性和密度均為常數(shù)。
• 目標是觀察界面形狀的演化以及振幅的衰減規(guī)律，如圖 3?？梢园l(fā)現(xiàn)，網(wǎng)格對動能的衰減過程存在較大的影響，粗糙的網(wǎng)格甚至影響震蕩的頻率。

圖3不同網(wǎng)格尺度下動能衰減過程與解析解對比

問題表現(xiàn)：

• 偽速度問題：如果表面張力計算不準確，界面會出現(xiàn)非物理的振蕩。
• 數(shù)值擴散：界面逐漸模糊，波形失去清晰度。
• 能量耗散異常：數(shù)值誤差可能導(dǎo)致波的衰減速度與理論值不符。

改進方法：

• 使用平衡力算法（Balanced-Force Algorithm）來精確平衡表面張力和壓力梯度。
• 提高界面重構(gòu)精度（如采用PLIC方法）以減少數(shù)值擴散。
• 采用自適應(yīng)網(wǎng)格細化（AMR）技術(shù)，在界面附近提高分辨率。

2.2液滴周期形變（Periodic Deformation of a Droplet）

背景：

• 液滴周期形變是一個經(jīng)典的對流測試問題，用于評估界面捕捉算法在復(fù)雜界面形變中的穩(wěn)定性。
• 液滴在一個周期性變化的速度場中被拉伸和壓縮，最終應(yīng)恢復(fù)到初始形狀。

測試設(shè)置：

• 初始液滴為一個的圓盤或球體，置于一個二維或三維的速度場中。如式，為一個三維狀態(tài)下速度場隨時間變化。該案例經(jīng)由公式直接給定在網(wǎng)格的face中心，為準確的速度分布，后參與VOF方程計算。

• 速度場為周期性變化的渦流場，液滴在流動中經(jīng)歷拉伸、旋轉(zhuǎn)和壓縮。
• 目標是觀察液滴在一個周期后是否能夠恢復(fù)到初始形狀。如圖 4，在初始時刻為圓球，在一個周期后，如果是數(shù)值精度高的算法，應(yīng)該保持較好的圓球狀。

圖 4 液滴界面變化過程

問題表現(xiàn)：

• 數(shù)值擴散：液滴在拉伸過程中，界面逐漸模糊，導(dǎo)致體積損失。
• 界面重構(gòu)誤差：在復(fù)雜形變過程中，界面重構(gòu)算法可能無法準確捕捉液滴形狀。
• 偽速度問題：表面張力計算誤差可能導(dǎo)致液滴形狀的非物理變化。

改進方法：

• 使用高階插值方法（如PLIC）[3]來提高界面重構(gòu)精度。
• 采用MULES算法限制體積分數(shù)的變化，確保界面清晰。
• 采用基于幾何方法的界面捕捉算法，如OpenFOAM中的IsoAdvectors。
• 在高密度比和高粘度比條件下，使用Ghost Fluid Method（GFM）[5]平滑界面附近的物性跳躍。

總結(jié)

通過對VOF界面捕捉穩(wěn)定性問題的分析，可以看出數(shù)值擴散和表面張力偽速度是影響界面穩(wěn)定性的兩大主要問題。在典型案例中，靜態(tài)毛細波和液滴周期形變分別揭示了表面張力計算和界面重構(gòu)的不足。為了解決這些問題，研究者提出了多種改進算法，如PLIC方法、平衡力算法和自適應(yīng)網(wǎng)格細化技術(shù)。這些方法在提高界面捕捉精度和穩(wěn)定性方面表現(xiàn)出色，但仍需在計算效率和適用性方面進一步優(yōu)化。

未來的研究方向包括：

• 開發(fā)更高精度的界面重構(gòu)算法。
• 利用機器學(xué)習(xí)技術(shù)優(yōu)化界面捕捉過程。
• 結(jié)合GPU加速技術(shù)，提升大規(guī)模多相流模擬的效率。

參考文獻

[1] S. S. Deshpande, L. Anumolu, and M. F. Trujillo, “Evaluating the performance of the two- phase flow solver interFoam,” Computational Science & Discovery.

[2] Lamb H 1932 Hydrodynamics (Cambridge: Cambridge University Press)

[3] https://github.com/daidezhi/interPlicFoam

[4] Roenby, Larsen, J. , Bredmose, B. E. , Jasak, H. , & Hrvoje. (2017). A new Volume-of-Fluid method in OpenFOAM. MARINE VI : proceedings of the VI International Conference on Computational Methods in Marine Engineering. International Center for Numerical Methods in Engineering.

[5] Fedkiw, R. P. ,  Aslam, T. ,  Merriman, B. , &  Osher, S. . (1999). A non-oscillatory-eulerian approach to interfaces in multi-material flows (the ghost fluid method). Journal of Computational Physics, 152.

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